Dr. M. Mächler  Statistische Methoden  WS 96/97

Serie 3

1. Berechne von Hand die Kleinste-Quadrate-Gerade

a) für folgende Punkte:

(x, y) = (1, 2), (2, 3), (4, 4), (5, 7)

b) Füge zu den Punkten von a) den Punkt (3, −1) hinzu.

c) Füge zu den Punkten von a) den Punkt (−2, 9) hinzu.

d) Zeichne alle Punkte und die 3 Geraden auf und kommentiere die Geraden und Punkte.

Tip: β̂ = S_{xy}/S_{xx} berechnet man hier am einfachsten via ∑_{i} x_{i}, ∑_{i} y_{i}, ∑_{i} x_{i}y_{i} und ∑_{i} x_{i}^{2}, da S_{xy} := ∑_{i}(x_{i} − x̄)(y_{i} − ȳ) = ∑_{i} x_{i}y_{i} − \frac{1}{n}(∑_{i} x_{i})(∑_{i} y_{i}) und das Analoge für S_{xx} gilt.

2. Untersuche mit S-plus die Beziehung zwischen der Anzahl Unfälle und dem Anteil am Total der Flüge von 9 Fluggesellschaften:

Unfälle (U):  11 7  7  19  9  4  3  1  3
Anteil Flüge (A) (in %): 9.50 19.20 7.50 20.78 13.82 5.40 12.92 5.03 6.29

Die Daten sind in der Datei /home/sfsadm/ueb.datasets/flugunfaelle.dat und werden
mit d.flug <-  read.table("/home/.....", head=T) eingelesen.

a) Verwende dazu zuerst das Modell E[U] = α+βA und untersuche den Plot der Residuen gegen den Fit. Anleitung: Führe zuerst eine lineare Regression mit der Funktion lm(..,data=d.flug) durch (weise das Resultat einem S-Objekt zu, z.B. fit). Die gewünschten Plots erhältst

    Du mit plot(fitted.values(fit), residuals(fit)) .

b) Verwende das Modell \sqrt{U} = α^{∗} + β^{∗}A + Err. und diskutiere den Unterschied.

3.

Einfache Lineare Regression durch den Nullpunkt Wir nehmen folgendes Modell an:

Y_{i} = βx_{i} + E_{i} mit E_{i} i.i.d. ∼ N (0, σ^{2}) für i = 1, …, n.

a) Berechne β̂, die Kleinste-Quadrate-Schätzung für β.

b) Berechne E \left⟨{ \atop β̂}\right⟩ und Var \left⟨{ \atop β̂}\right⟩

(Tip: Var ⟨aX_{1} + bX_{2}⟩ = a^{2}Var ⟨X_{1}⟩ + b^{2}Var ⟨X_{2}⟩, falls X_{1}, X_{2} unabhängig sind).

c) ^{1} Konstruiere eine erwartungstreue Schätzung für σ^{2} (d.h. σ̂^{2} so, dass E ⟨σ̂^{2}⟩ = σ^{2}).

Tip: Die Summe der Residuen-Quadrate, SS_{E}, kann geschrieben werden als

SS_{E} = ∑_{i} Y_{i}^{2} − β̂^{2} ∑_{i} x_{i}^{2}. Berechne E ⟨SS_{E}⟩.

Abgabe: Mo, 25.Nov. 96. Computer – Präsenz: . . . . . . . . . im HG E 27 Präsenz, Hilfe: Im SOL F5 (Sonneggstr.33), gemäss Vereinbarung: Tel. (63) 2-3408 oder

                via e-mail  To: maechler@stat.math.ethz.ch.

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1freiwillig

4. Linearisierbare Funktionen Die folgende Tabelle enthält einige Funktionen, die sich durch Transformation linearisieren lassen (Darstellung unten). Vervollständige die Tabelle, indem Du die Nummer der Darstellung, sowie die zu verwendende Transformation einträgst. (Aus dem Buch von Daniel & Wood, S. 20.)

Funktion  Darstellung Transformation  Lineare Form
y = αx^{β}  2  y′ = log(y), x′ = log(x) y′ = log(α) + β · x′
y = αe^{β·x}  …  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = α + β · log(x) …  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = x/(α · x − β) …  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = \frac{e^{α+βx}}{1+e^{α+β·x}}  …  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = αe^{β/x}  …  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 1/(α + βe^{−x}) …  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .